主席树
Hawtian Wang主席树我的理解是可持久化线段树的一种应用吧。本质上就是可持久化线段树，不过我们在查询的时候用到了他们之间可以相减的性质。
首先介绍一下可持久化线段树。
0.0.1 可持久化线段树
可持久化线段树是可持久化数据结构中的一种，主席树的实现就是利用了可持久化线段树的。
0.0.1.1 可持久化数据结构
所谓的可持久化数据结构，就是保存这个数据结构的历史版本，同时应该公用他们的公有部分来减少内存上的消耗。
0.0.1.2 可持久化线段树
在每次更新的时候，我们保存下来每次更新的历史版本，以便我们之后查阅。在主席树中我们用到的线段树是保存当前范围内位置有多少个数的。以下都用这个当例子。
下面图中点的表示：
0.0.1.2.1 建树
建立一颗空树，这里只要递归的建立就可以了。和普通的线段树是一样的。build(1, 5)
0.0.1.2.2 更新
我们这里的更新操作是不改变原有的点，对于所有的修改我们都会建立新的点出来。insert(root, 1, 5, 3)：在3位置插入了一个值。
insert(root, 1, 5, 4)：在4位置插入了一个值。
我们可以看到，在修改线段树上维护的数据的时候我们都没有改变原本的点，只是建立了一个新点出来。这样我们可以放心的复用以前的点（因为他们根本就没有变过），这样来达到节省空间的目的。
0.0.1.2.3 查询
查询的方法和普通的线段树一样，还是根据所查信息来决定是走左孩子还有右孩子就可以了。
0.0.2 主席树
主席树中我们处理任意区间第K大的方法，有点像在处理任意区间和的时候我们用的求好前缀和再相减的过程。这里我们在查询的时候就是把两个线段树相减。
如果查询区间(s, t)的第K大，我们首先可以找到他们两个所对应的数字插入的时候的线段树，（我们把数组里的元素按顺序插入，并且把插入后的根保存起来。因为这些根一定都是不同的，假定我们保存在了数组T中。即当前的查询可以表示为：query(s, t, ln, rn, k)）
那么如果\(T[t].left.data - T[s-1].left.data <= k\)，就证明了这个第K小的数应该在左边。我们递归的处理 query(s.left, t.left, ln, mid, k)，否则第K小的数就应该在右边，我们递归处理query(s.right, t.right, mid+1, rn, k-(t.left.data-s.left.data))（注意更新右侧不是第K小，应该减去左侧数字的个数。）
0.0.2.1 代码实现和例题
例题poj2104 代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1000100;
struct node {
node *ls, *rs;
int data;
} _pool[maxn * 20], *current;
void init() {
current = _pool;
}
node* allocNode() {
return current++;
}
node* build(int ln, int rn) {
node* now = allocNode();
now->data = 0;
now->ls = NULL;
now->rs = NULL;
if (ln < rn) {
int mid = (ln + rn) / 2;
now->ls = build(ln, mid);
now->rs = build(mid + 1, rn);
}
return now;
}
node* insert(node* root, int ln, int rn, int val) {
node* now = allocNode();
*now = *root;
now->data++;
if (ln != rn) {
int mid = (ln + rn) / 2;
if (val <= mid) {
now->ls= insert(now->ls, ln, mid, val);
}
else {
now->rs= insert(now->rs, mid+1, rn, val);
}
}
return now;
}
int query(node* s, node* t, int ln, int rn, int k) {
//printf(">>> [%d, %d], (%d, %d), %d\n", s-_pool, t-_pool, ln, rn, k);
//printf("--- <%d, %d>, <%d, %d>\n", s->ls-_pool, s->rs-_pool, t->ls-_pool, t->rs-_pool);
if (ln == rn) return ln;
int delta = t->ls->data - s->ls->data;
int mid = (ln + rn) / 2;
if (delta >= k) {
return query(s->ls, t->ls, ln, mid, k);
}
else {
return query(s->rs, t->rs, mid+1, rn, k - delta);
}
}
void treeShow(node* root) {
if (root != NULL) {
printf("%d: <(%d, %d), %d>\n", root-_pool, root->ls-_pool, root->rs-_pool, root->data);
treeShow(root->ls);
treeShow(root->rs);
}
}
node* T[maxn];
int ori[maxn];
int dis[maxn];
int main() {
int n, q;
while (scanf("%d%d", &n, &q) != EOF) {
init();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &ori[i]);
dis[i] = ori[i];
}
sort(dis + 1, dis + n + 1);
int m = unique(dis + 1, dis + 1 + n) - dis - 1;
T[0] = build(1, m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int pos = lower_bound(dis + 1, dis + m + 1, ori[i]) - dis;
T[i] = insert(T[i-1], 1, m, pos);
}
//treeShow(T[2]);
for (int i = 0; i < q; i++) {
int s, t, k;
scanf("%d%d%d", &s, &t, &k);
printf("%d\n", dis[query(T[s-1], T[t], 1, m, k)]);
}
}
return 0;
}